Особенности применения метода парциальных откликов при исследовании вибрации квазиодномерных конечно-элементных моделей

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ

Бурное развитие возможностей вычислительной техники, начавшееся во второй половине прошлого века, привело к возможности получения решений задач численными методами. Именно тогда началось широкое применение методов, основанных на прямом конструировании моделей конструкций из конечных элементов. Наибольшее развитие и распространение получил метод конечных элементов (МКЭ), как метод, дающий возможность получения модели, наиболее соответствующей реальному объекту, а алгоритм расчета использовал пакеты стандартных программ [1, 2]. Однако применение альтернативных методов в некоторых случаях оказывается достаточно эффективным.

В настоящей статье остановимся на применении метода парциальных откликов (МПО) [3]. Суть метода — любая исследуемая система (в частном случае — механическая) делится на две самостоятельные (парциальные) сопрягаемые части: правую и левую парциальные системы (ПС). Для них вводятся парциальные отклики (ПО) (реакции на единичные воздействия, которые сводятся в матрицу ПО) и парциальные параметры (ПП) (реакции ПС на внешние воздействия, сводящиеся в матрицу-столбец ПП). В точке сопряжения правой и левой ПС записываются уравнения неразрывности, решение которых позволяет сначала найти элементы матрицы-столбца реакций внутренних связей, а затем элементы матрицы-столбца соответствующих смещений. Очевидно, что поскольку на практике требуется находить реакции внутренних связей и соответствующие смещения в конечном числе точек, то необходимо рассмотреть сопряжение соответствующего числа пар ПС. При этом крайне желательно уметь записывать для вычисления ПО и ПП обеих ПС рекуррентные соотношения. Первоначально для получения ПО в работе [3] В.С. Чувиковским предлагалось использовать дифференциальные уравнения или уравнения в конечных разностях.

Особенно удобно применение МПО в частном случае, когда объектом исследования является модель в виде квазиодномерной конечно-элементной системы. Такая система удобна при рассмотрении конструкций, один размер которой существенно больше двух других (например, балки, колонны, судовой корпус и т.п.). При вычисленных элементах матриц ПО и ПП в точках сопряжения левой (L) и правой (R) парциальных систем должно выполняться условие неразрывности:

$\left[\begin{array}{c}{A}_{ij}^L; B_{ij}^L\\ C_{ij}^L; D_{ij}^L\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{N}_j\\ M_j\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{W}_i^L\\ {\theta }_i^L\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{w}_i\\ {\vartheta }_i\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{c}{A}_{ij}^R; B_{ij}^R\\ C_{ij}^R; D_{ij}^R\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{N}_j\\ M_j\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{W}_i^R\\ {\theta }_i^R\end{array}\right]$, (1)

где $\left[\begin{array}{c}{N}_j\\ M_j\end{array}\right]$ — матрица столбец неизвестных внутренних усилий, а $\left[\begin{array}{c}{w}_i\\ {\vartheta }_i\end{array}\right]$ — матрица столбец неизвестных линейных и угловых смещений, i = τ, n, b; j = τ, n, b  — оси естественной системы координат. В (1) нижние индексы у ПО i, j означают, что усилие, ориентированное вдоль оси j, вызывает смещение вдоль оси i; A_ij, C_ij — линейные смещения вдоль оси i от единичной силы N_j = 1 и единичного момента M_j = 1, соответственно; B_ij, D_Dij — угол поворота вокруг оси i от единичной силы N_j = 1 и единичного момента M_j = 1, соответственно; W_j, θ_j — линейное смещение и угол поворота относительно оси j от всей внешней нагрузки, действующей на соответствующую ПС.

Уравнение (1), как уже говорилось, позволяет в точке сопряжения сначала найти элементы матрицы внутренних усилий, а затем элементы матрицы линейных и угловых смещений.

Для плоской модели рекуррентные зависимости вычисления ПО и ПП при наращивании парциальных систем на подэлементы базовых элементов, получаемые с применением дискретного варианта МПО приведены в работах [4, 5]. Его суть состоит в записи для изменения ПО алгебраических уравнений, носящих рекуррентный характер. Для общего случая формулы выводятся из аналогичных физических соображений, но имеют существенно более сложную структуру. При желании с ними можно ознакомиться в [6, 7].

КВАЗИОДНОМЕРНАЯ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ

На первом этапе работы при решении задач о моделировании процесса вынужденных установившихся колебаний квазиодномерной дискретной системы, представляющей собой цепочку последовательно соединенных однотипных конечных элементов, которые ниже будем называть «базовыми», была предложена физическая модель в виде пространственно-криволинейной упругой дискретной системы (ПКУДС).

Устройство базового элемента представлено на рис. 1. Здесь изображены четыре безинерционных стержня; пары крайних соединены двумя обобщенными шарнирами деформаций, позволяющим смещения и повороты относительно трех ортогональных осей, а между средними возможны три последовательных поворота осей местной системы координат элемента; заканчивается базовый элемент инерционным диском, обладающим тензором инерции (при этом, к диску в заданных точках могут быть дополнительно прикреплены точечные массы жестко или на упругих связях, допускающих движение только вдоль одной из координатных осей). В случае наличия у элемента опоры, обладающей заданными жесткостями в определенных направлениях, действие ее реакций также приводится к соответствующей точке инерционного диска (см. рис. 1). Выбранная геометрия обусловлена тем, что криволинейные участки заменяются описывающей ломаной, к которой инерционные диски ортогональны.

 

Рис. 1. Устройство «базового» элемента пространственно-криволинейной упругой дискретной системы.

Fig. 1. Layout of the basic element of a curvilinear-space elastic discrete system.

 

Материал модели предполагается линейно-упругим, но с введением в него неупругих сопротивлений комплексностью инерционно-жесткостных характеристик [1, 3, 4, 6]; при этом внутренние сопротивления, пропорциональные деформациям и (или) их скоростям (т.е. относительным параметрам) корректируют жесткости в шарнире деформаций (т.е. вызывают появление у их величин мнимой части), а внешние сопротивления (пропорциональные абсолютным скоростям) — корректируют соответствующие инерционные характеристики (т.е. вызывают появление у их величин мнимой части). Ввиду малости деформаций и перемещений при вибрации задача решается в геометрически линейной постановке. В качестве основной кинематической гипотезы, позволяющей свести задачу теории упругости к задаче строительной механики, принята гипотеза плоских сечений с поправкой на сдвиг.

Внешняя динамическая нагрузка на рассматриваемую линейную модель в виде ПКУДС предполагается периодической. Она может быть представлена гармоническим рядом. Действие каждой гармоники рассматривается отдельно, а общее решение получается суперпозицией частных решений. Такой подход обусловлен тем, что величины присоединенных масс жидкости зависят от формы вынужденных колебаний рассчитываемой конструкции, которая, в свою очередь, изменяется с изменением частоты возбуждения. Прикладываемая внешняя нагрузка в виде сосредоточенных или распределённых сил и моментов автоматически приводится к центрам инерционных дисков элементов.

Анализ параметров установившихся колебаний позволяет перейти к квазистатическому варианту модели [1, 3, 4, 6]. В этом случае модель также представляет собой последовательность базовых элементов, но вместо инерционного диска (см. квазистатическую аналогию в [1, 3, 4, 6]) вводится опора, обладающая отрицательной упругостью, т.е. новая модель представляет собой последовательность абсолютно твердых и безынерционных элементов, соединенных между собой и неподвижным основанием упругими связями, каждая из которых порождает усилия определенной структуры (пропорциональные смещению, скорости, ускорению). При этом характеристики жесткости могут быть комплексными величинами (см. метод комплексных параметров в [1, 3, 4, 6]). В частном случае, когда частота колебаний равна нулю, имеет место статический расчет параметров деформирования квазиодномерной модели.

Особенно удобно такое представление конструкций на ранних стадиях их проектирования [8] (например, для судового корпуса), когда о них еще нет полных данных, что затрудняет применение классического метода конечных элементов.

Цель, которую ставили перед собою авторы состоит в создании достаточно простой и физически понятной модели для расчета параметров вибрации таких конструкций и, вместе с тем, соответствующих алгоритма и программы расчета, вычисления по которым могут быть выполнены на персональных компьютерах пользователей с высокой скоростью.

АЛГОРИТМ И ПРОГРАММА РАСЧЕТА

В качестве математического метода, принятого при разработке алгоритма расчета и программы вычислений параметров деформации квазистатического варианта одиночной модели, был выбран метод парциальных откликов (МПО) в его дискретном варианте [4–7]. Выбранный подход позволил избежать традиционного решения краевой задачи, представляющего собой, на взгляд авторов, существенно более сложный и трудоемкий процесс. Выбор в качестве ПО смещений от единичных усилий соответствует причинно-следственным связям в задачах строительной механики, что гарантирует, при соответствующем построении алгоритма расчета, соответствие устойчивости результатов вычислений и устойчивости моделируемого процесса [3].

По предложенному в [7] алгоритму для пространственной квазиодномерной конечно-элементной модели были разработаны алгоритм и первый вариант расчетной программы «Рамы» [9], позволивший, во-первых, достаточно просто создавать либо одиночную пространственно-криволинейную квазиодномерную конечно-элементную модель, либо систему из нескольких таких моделей, связанных между собой в нескольких точках специальными шарнирами. В свою очередь, каждая из квазиодномерных конечно-элементных моделей представляет собой последовательность из прямолинейных и (или) криволинейных участков. Каждый из таких участков состоит из задаваемого исследователем числа последовательно соединенных базовых элементов. Инерционно-жесткостные характеристики базовых элементов в пределах участка могут быть либо одинаковыми, либо меняться по трапецевидному закону. Величины этих характеристик могут либо задаваться исследователем вручную, либо вычисляться встроенным в программу модулем для профиля, входящего в предлагаемую программой базу либо нарисованного исследователем. Для каждого участка предусмотрена возможность введения в заданной точке опоры с задаваемыми жесткостями в нужных направлениях, а также сосредоточенных сил, моментов и распределенной нагрузки. Для каждого инерционного диска предусмотрена возможность прикрепления жестко либо на упругой связи точечной массы. Все эти параметры конечно-элементной модели могут быть откорректированы даже после того, как модель сформирована.

Во-вторых, для сформированной модели программа позволяет рассчитать амплитуды параметров вибрации (линейные и угловые смещения, внутренние силы и моменты, опорные реакции) каждого из базовых элементов. Распределения этих параметров вдоль нейтральной оси модели выводятся на экран и сохраняются в файл. В окне справа указываются максимальные значения этих параметров. При необходимости построения амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) в окне программы нажимается кнопка с изображением зигзага. Анализ АЧХ позволяет определить резонансные частоты и совпадающие с ними частоты, соответствующих типов собственных колебаний (изгибных в горизонтальной и вертикальной плоскостях, продольных, крутильных).

Следует заметить, что исследователь должен помнить, что если модель и внешняя нагрузка, на нее действующая, обладают свойством симметрии, то у нее не могут реализоваться резонансы, соответствующие четным собственным частотам, а если модель и внешняя нагрузка антисимметричны, не могут быть реализованы резонансы, соответствующие нечетным собственным частотам. Таким образом, чтобы найти все собственные частоты модели, необходимо корректно задать внешнюю нагрузку.

В качестве иллюстрации вывода рекуррентных выражений в рамках дискретного варианта МПО для ПО и ПП ниже приведено их получение для плоской задачи об изгибной вибрации непризматической балки.

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ИЗГИБНОЙ ВИБРАЦИИ МЕТОДОМ ПАРЦИАЛЬНЫХ ОТКЛИКОВ

Рассмотрим одномерную конструкцию из [10] длины , для которой известны граничные условия и распределения вдоль ее продольной оси x массы m* (x), жесткости на изгиб E ⋅ J (x), жесткости упругого основания c (x) и внешних гармонически изменяющихся во времени поперечной силовой q (x) sinωt и моментной μ (x) sinωt нагрузок.

Если конструкцию мысленно рассечь на две части в сечении с координатой x, то внутренними параметрами процесса ее изгибной вибрации будут смещение поперечного сечения w (x), угол поворота этого поперечного сечения ϑ (x), поперечная сила N (x) и изгибающий момент M (x).

Сконструируем дискретную расчетную модель для исследования изгибных установившихся колебаний конструкции как совокупность из n однотипных последовательно соединенных элементов, состоящих из масс, шарнирно соединенных абсолютно жестких стержней и безынерционных линейных и спиральных пружин (см. рис. 2); на каждую из масс действуют внешние гармонически изменяющиеся во времени поперечная сила и изгибающий момент.

 

Рис. 2. Вид конечно-элементной модели.

Fig. 2. View of a finite element model.

 

Характеристики элементов такой дискретной модели определяются как

$l_i=\frac{L}{n-1}, k_i=E{J}_i\frac{l_{i-1}+l_i}{2}, c_i=c_i^{*}\frac{l_{i-1}+l_i}{2}, m_i=m_i^{*}\frac{l_{i-1}+l_i}{2}, Q_i=q_i\frac{l_{i-1}+l_i}{2}, M_i^{*}={\mu }_i\frac{l_{i-1}+l_i}{2}, i=\mathrm{1,} \mathrm{2,} ...,n$,

где L — протяженность конструкции, l_i, m_i, k_i, c_i, Q_i, $M_i^{*}$ — протяженность, масса, изгибная жесткость, жесткость основания, внешние сила и изгибающий момент для i-го элемента, соответственно. Очевидно, что при увеличении числа элементов дискретная модель неограниченно стремиться к исходной конструкции. При этом граничные условия и наличие промежуточных опор должны быть учтены коррекцией значений жесткости соответствующих линейных и спиральных пружин (например, жесткая опора может моделироваться пружиной, жесткость которой превышает остальные на 5–7 порядков).

При наличии заданных коэффициентов внешних и внутренних сопротивлений массы и жесткости пружин дискретной модели будут комплексными величинами. Если внешние усилия, на нее действующие, будут содержать слагаемые, содержащие как sinωt, так и cosωt, их также следует записать в комплексной форме. В таком случае параметры процесса вибрации также станут комплексными величинами.

Применив квазистатическую аналогию, получим расчетную схему в виде безынерционной модели (см. рис. 3), для которой следует определить параметры статического деформирования.

 

Рис. 3. Вид квазистатической конечно-элементной модели.

Fig. 3. View of a quasi-static finite element model.

 

На рис. 3 введены обозначения: u = −ω²m_i — жесткость i-й опоры, Q_i, $M_i^{*}$ — амплитудные значения внешних поперечных сил и изгибающих моментов, приложенных в -м шарнире безынерционной модели. Вид i-го элемента с обозначением параметров его деформирования изображен на рис. 4.

 

Рис. 4. Вид «базового» элемента квазистатической модели.

Fig. 4. View of the basic element of the quasi-static model.

 

Для нахождения параметров деформированного состояния безынерционной модели воспользуемся методом парциальных откликов в его дискретном варианте.

Введем следующий комплект ПО и ПП для левой части безынерционной системы, оканчивающейся i-м узлом:

• A_nn (i) — поперечное смещение ее крайнего узла справа от действия единичной поперечной силы N = 1;
• B_bn (i) — угол поворота перечного сечения в ее крайнем узле справа от действия единичной поперечной силы N = 1;
• C_nb (i) — поперечное смещение ее крайнего узла справа от действия единичного изгибающего момента M = 1;
• D_bb (i) — угол поворота перечного сечения в ее крайнем узле справа от действия единичного изгибающего момента M = 1;
• W (i) — поперечное смещение ее крайнего узла справа от действия всей внешней нагрузки, приложенной к левой парциальной системе;
• θ (i) — угол поворота перечного сечения в ее крайнем узле справа от действия всей внешней нагрузки, приложенной к левой парциальной системе.

Отметим, что введенные шесть коэффициентов полностью и однозначно определяют свойства левой парциальной системы.

Запишем алгоритм получения величин ПО и ПП по мере наращивания левой парциальной системы от первого узла до n-го (алгоритм, так называемого, «прямого хода»).

В соответствии с основной идеей метода парциальных откликов вычисление искомых коэффициентов податливостей будем производить последовательно не только от одного базового элемента модели к другому, но и внутри каждого базового элемента. При этом сначала вычисляются коэффициенты податливости до узловой точки (проход стержня длиной l_i). Затем осуществляется проход вертикальной опоры жесткостью (c_i + u_i). После чего проходится шарнир деформации, жесткость спиральной пружины которого k_i. Далее осуществляется приложение внешней нагрузки в виде силы Q_i и момента $M_i^{*}$. Парциальные отклики и парциальные параметры после прохода каждого этапа будут снабжаться сверху дополнительным штрихом.

При выводе формул примем следующее правило знаков: положительное направление для силы и вертикального смещения — вниз по вертикали, положительное направление для момента и угла поворота поперечного сечения — против часовой стрелки (см. рис. 4).

Перейдем к непосредственному получению рекуррентных зависимостей для коэффициентов податливостей. Сначала вычислим искомые коэффициенты для первого узла модели:

${А}_{nn}=\frac{1}{c_1+u_1}, {С}_{nb}=B_{bn}=\mathrm{0,} D_{bb}=\frac{1}{k_1}, W=\frac{Q_1}{c_1+u_1}, \theta =\frac{M_1^{*}}{k_1}$. (2)

Схема для вычисления ПО и ПП при наращивании левой парциальной системы стержнем длины  при приложении единичной поперечной силы изображена на рис. 5.

 

Рис. 5. Схема для вычисления ПО при приложении единичной силы.

Fig. 5. Partial response calculation diagram (unit force is applied).

 

В качестве примера для схемы, представленной на рис. 5, приведены выражения для ПО и ПП:

$$\begin{gathered} A_{nn}^{\text{'}}=A_{nn}N+C_{nb}M-l(B_{bn}N+D_{bb}M)=A_{nn}-C_{nb}l-B_{bn}l+D_{bb}{l}^2; \\ {B}_{bn}^{\text{'}}=B_{bn}N+D_{bb}^{\text{'}}M=B_{bn}-D_{bb}^{\text{'}}l; C_{nb}^{\text{'}}=C_{nb}M-D_{bb}^{\text{'}}Ml=C_{nb}-D_{bb}^{\text{'}}l; \end{gathered}$$

$D_{bb}^{\text{'}}=D_{bb}M=D_{bb}; W^{\text{'}}=W-\theta l; {\theta }^{\text{'}}=\theta$. (3)

При выводе этих зависимостей учитывалось, что приложение единичного усилия N = 1 вызывает появление в предыдущем сечении такого же реактивного усилия N = 1 и момента M = −lN = −l. Кроме того, прогиб в рассматриваемом сечении формируется не только прогибом в предыдущем сечении, но и дополнительным прогибом от угла поворота стержня.

Рассуждения для получения выражений для ПО и ПП при приложении единичного момента и внешней нагрузки аналогичны приведенным выше.

На следующем этапе учтем изменение ПО и ПП при прохождении упругой опоры жесткостью c = c_i + u_i. Для этого необходимо раскрыть своеобразную «статическую неопределимость», возникающую из-за появления реакции связи (см. рис. 6). Для упрощения записи верхний штрих у ПО и ПП опущен. ПО и ПП после прохода упругой опоры снабжены сверху двумя штрихами. На рис. 6 изображена схема, позволяющая записать выражений для ПО и ПП при приложении единичной поперечной силы.

 

Рис. 6. Схема для вычисления парциальных откликов при приложении единичной силы.

Fig. 6. Partial response calculation diagram (unit force is applied).

 

В качестве примера приведем нахождение ПО для схемы, изображенной на рис. 6:

$w=\frac{R_1}{c}=A_{nn}(N-R_1)$;

отсюда

$R_1=\frac{c{A}_{nn}}{1+c{A}_{nn}}$. (4)

Тогда

$A_{nn}^{\text{'}\text{'}}=\frac{R_1}{c}=\frac{A_{nn}}{1+c{A}_{nn}}, B_{bn}^{\text{'}\text{'}}=B_{bn}(N-R_1)=B_{bn}(1-R_1)$. (5)

Рассуждая аналогично, получим формулы для вычисления соответствующих ПО при ПП.

На следующем этапе парциальную систему следует нарастить шарниром деформаций (спиральной пружиной жесткостью k_i), что приведет к изменению только одного парциального отклика:

$D_{bb}^{\text{'}\text{'}\text{'}}=D_{bb}^{\text{'}\text{'}}+\frac{1}{k_2}$. (6)

На последнем этапе, в соответствии с рис. 4, следует приложить внешнюю нагрузку. Очевидно, что парциальные отклики при этом изменяться не будут, изменяются только парциальные параметры (новые значения имеют сверху три штриха). Убрав для упрощения записи верхние штрихи у ПО и ПП, получим:

$W^{\text{'}\text{'}\text{'}}=W+A_{nn}{Q}_i+C_{nb}{M}_i^{*}; {\theta }^{\text{'}\text{'}\text{'}}=\theta +B_{bn}{Q}_i+D_{bb}{M}_i^{*}$. (7)

Продемонстрированные выше приемы позволяют получить полный комплект рекуррентных зависимостей, необходимых для перехода от одного элемента к другому и, как следствие, от одного участка к другому (наращивание левой парциальной системы до включения в нее стержня длиной l = l_{n – 1}).

Приведенные выше формулы для коэффициентов податливости относятся, строго говоря, лишь к левой парциальной системе. Но, как показано в [5, 7], ими можно условно пользоваться и для правой парциальной системы, если надлежащим образом записать условия сопряжения обеих систем.

УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ФАКТОРОВ, ВЛИЯЮЩИХ НА КАРТИНУ ВИБРАЦИИ

В [11, 12] сформулирован и применен подход, позволяющий учитывать влияние дополнительных факторов, усложняющих картину установившихся колебаний квазиодномерной модели. На первом этапе подхода выполняется анализ влияния рассматриваемого фактора на модель (т.е. выявляется структура дополнительных усилий, порождаемых учетом этого фактора). На втором этапе дополнительные усилия условно разделяются на группы следующим образом:

1. Выделяются слагаемые первой группы, которые можно учесть коррекцией внешней нагрузки, прикладываемой к элементам квазистатической модели.
2. Ко второй группе относят слагаемые, прямо пропорциональные абсолютным смещениям, скоростям или ускорениям элементов модели, действие которых можно учесть коррекцией характеристик инерции этих элементов. Так зависимость дополнительного усилия от абсолютной скорости удобнее выполнить комплексностью характеристик инерции элементов, а зависимость от абсолютного ускорения (смещения) — отрицательностью (положительностью) величин соответствующих инерционных характеристик. Действие таких слагаемых приведет к коррекции жесткостей опор «базового» элемента квазистатической модели.
3. К третьей группе относят слагаемые, прямо пропорциональные абсолютным смещениям, скоростям или ускорениям, действие которых можно учесть модификацией характеристик инерции квазиодномерной модели (иными словами — оснастить модель новыми, ранее отсутствовавшими у нее, свойствами). Действие таких слагаемых приведет к введению в «базовый» элемент квазистатической модели дополнительных упругих опор, автоматически порождающих соответствующие усилия.
4. К четвертой группе относят слагаемые, прямо пропорциональные относительным смещениям или скоростям; их действие удобнее учесть при выводе формул для вычисления парциальных откликов.
5. К последней группе относим слагаемые, формализовать структуру которых способами, указанными выше, не удалось.

На третьем этапе выполняется учет влияния слагаемых каждой из перечисленных групп. Применение такого подхода позволяет при решении задачи вместо рассмотренной выше квазиодномерной конечно-элементной модели получить вариант новой, модифицированной квазиодномерной конечно-элементной модели, представляющей собой уже не модель конструкции, а модель задачи в целом. Заметим, что учет слагаемых пятой группы может быть выполнен методом последовательных приближений. Ниже применение этого подхода иллюстрируется при рассмотрении решений ряда задач прикладного характера.

УЧЕТ СОВМЕСТНОЙ ВИБРАЦИИ ОСНОВНОЙ НЕСУЩЕЙ КОНСТРУКЦИИ И КОНСТРУКТИВНОГО МОДУЛЯ (КМ) С МАЛЫМ РАЙОНОМ СОПРЯЖЕНИЯ

В работе [13] была решена задача о совместной вибрации судового корпуса (основная несущая конструкция) и поля днищевого перекрытия (простейший КМ в виде массы на упругой связи с приложенной вертикальной гармонически изменяющейся силой), сопрягающихся в одной точке. Задача решалась методом последовательных приближений, когда на первом этапе рассчитывались параметры вибрации судового корпуса без влияния присоединения КМ. Затем решались задачи о вибрации КМ при единичном кинематическом возбуждении точки сопряжения и вибрации КМ под действием приложенной к нему внешней нагрузки; эти решения позволяли вычислить значения соответствующих реакций в точке сопряжения моделей. На втором этапе эти реакции прикладывались в точке сопряжения к модели судового корпуса и выполнялся расчет параметров вибрации судового корпуса во втором приближении. Приближения выполнялись до тех пор, пока параметры вибрации судового корпуса в двух последних приближениях не совпадали с точностью, устраивающей исследователя.

Формулирование подхода [11] позволило в работе [14] для решения более общей (многомерной) задачи о совместной вибрации основной несущей конструкции и КМ общей конфигурации (для обеих конструкций применялись квазиодномерные конечно-элементные модели) предложить новую, единую, квазиодномерную конечно-элементную модель, «базовый» элемент которой в точке сопряжения был модифицирован так, что учитывал новые инерционные свойства, обусловленные присоединением КМ. Таких свойств у исходной модели основной несущей конструкции не было (например, изгибные колебания вызывали появления продольных колебаний и т.п.). Кроме этого, к модифицированной модели основной несущей конструкции в точке сопряжения с КМ прикладывался комплекс внешних усилий, обусловленных внешними усилиями, приложенными к КМ. Естественно, что величины этих инерционных характеристик и, так называемых, «приведенных» усилий были функциями частоты вибрации.

Заметим, что в рамках такого подхода создаваемая модель уже не является моделью какой-либо конструкции, а оказывается моделью общей задачи, учитывающей взаимовлияние исходных моделей. Таким образом подход, предложенный в [11], позволил вместо многомерной задачи о совместной вибрации получить квазиодномерную задачу, модель, алгоритм и программу расчета параметров, вибрации которой незначительно усложнили алгоритм и программу расчета для модели из базовых элементов, изображенных на рис. 1.

УЧЕТ ВРАЩЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ

Проиллюстрируем реализацию предложенного выше подхода [11] в процессе решения задачи из [15] об установившихся колебаниях, возникающих при вращении с постоянной угловой скоростью Ω судового валопровода с установленным гребным винтом. Для достаточно жестких валов (надводные корабли, подводные лодки и т.п.) в расчетах вибрации общепринята модель в виде непризматической балки; при этом нейтральная ось такой модели совершает установившиеся колебания с частотой вынуждающего воздействия ω относительно своего начального положения; в общем случае указанные частоты могут не совпадать из-за наличия воздействия со стороны иных судовых конструкций.

Будем полагать движение валопровода сложным, состоящим из относительного движения (вращение конструкции с угловой скоростью Ω вокруг своей нейтральной оси) и переносного движения (установившиеся колебания с частотой ω вместе с нейтральной осью относительно ее начального положения). Для перехода к квазистатической постановке задачи воспользуемся методом кинетостатики [16], добавив к внешним силам, действующим на элементы конструкции, силы инерции переносного движения, силы инерции относительного движения и силы инерции Кориолиса. Линейность задачи позволяет рассмотреть независимое действие на конструкцию всех этих видов нагрузки, а общее решение задачи получить в виде суперпозиции решений; при этом каждое из решений может быть получено в наиболее удобной координатной системе.

В наиболее распространенном случае, когда поперечное сечение валопровода представляет собой совокупность концентрических окружностей, имеют место две особенности, существенно упрощающие решение задачи. Первая из них, обусловленная совпадением центров инерции и жесткости поперечных сечений, приводит к отсутствию инерционных нагрузок относительного движения, а вторая, обусловленная одинаковой жесткостью на изгиб в любом направлении — позволяет искать параметры движения в неподвижной (не вращающейся) координатной системе. Если усилиями, вызывающими вибрацию, являются инерционные усилия, обусловленные неуравновешенностью гребного винта (поворачивающаяся с постоянной угловой скоростью Ω вокруг нейтральной оси сила Q₀ = mΩ²e, где m — масса винта, а e — ее эксцентриситет, и изгибающий момент M = I₀Ω², обусловленный центробежным моментом инерции I₀), то их действие может быть учтено [11, 12] коррекцией внешней нагрузки, прикладываемой к квазистатической модели. В неподвижной координатной системе действие такой силы эквивалентно приложению комплексной силы $\overline{Q}=Q_0\sin \Omega t+i{Q}_0\cos \Omega t$, где $i=\sqrt{-1}$; действие изгибающего момента учитывается аналогично. Для выполнения такого расчета можно воспользоваться первым вариантом программы [9].

Если на модель действуют дополнительные усилия, гармонически изменяющиеся во времени с частотой ω, то решение задачи будет представлять собой суперпозицию решений. Первое из них должно учитывать силы, возникающие вследствие неуравновешенности гребного винта (алгоритм решения предложен выше), а второе — действие на элементы модели дополнительной нагрузки, — сил инерции переносного движения (происходящего вместе с нейтральной осью модели) и сил инерции Кориолиса. Заметим, что действие на элементы модели нагрузки первых двух типов может быть учтено при непосредственном использовании модели и первого варианта программы [8, 9]. Автоматический учет действия сил инерции Кориолиса потребует некоторой модификации используемой ранее модели (т.е. ее оснащение дополнительными свойствами).

Учет сил инерции Кориолиса можно осуществить приложением к элементу «винт» модели валопровода соответствующих составляющих гироскопического момента ${\overrightarrow{М}}^{гир}=I_{\tau }\overrightarrow{\Omega }\times \dot{\overrightarrow{\vartheta }}$, которым мы пренебрегали прежде, полагая винт не вращающимся. При этом I_τ = 2I — осевой момент инерции масс винта относительно оси τ (ось вращения винта) при I = I_n = I_b, $\overline{\Omega }$ — вектор угловой скорости вращения винта, $\dot{\overrightarrow{\vartheta }}$ — вектор угловой скорости переносного вращения (угловой скорости прецессии).

Рекомендации по коррекции инерционно-жесткостных характеристик модели, сформулированные выше, позволяют учесть действие таких усилий появлением у модели новых инерционных свойств, а именно: угловая скорость поворота вокруг главной нормали (бинормали) должна порождать момент, направленный в направлении, противоположном бинормали (совпадающем с главной нормалью). Заметим, что вращение винта с угловой скоростью Ω вокруг продольной оси τ по часовой стрелке приведет к смене знака этих моментов.

На следующем этапе решения эти дополнительные инерционные свойства будут учтены добавлением на элементе квазистатической модели «винт» упругих связей (спиральные пружины), порождающих соответствующие усилия. Жесткости этих связей должны быть величинами мнимыми (т.к. реактивный момент такой связи пропорционален не углу поворота, а скорости его изменения) и равными: c_bn = 2IωΩ — жесткость пружины, порождающей момент в направлении, противоположном бинормали, величина которого пропорциональна углу поворота относительно главной нормали; c_nb = –2IωΩ — жесткость пружины (отрицательная), порождающей момент в направлении главной нормали, величина которого пропорциональна углу поворота относительно бинормали.

В таком случае алгоритм расчета из [7] следует дополнить комплектом формул из [15], учитывающим изменение парциальных откликов (ПО) и парциальных параметров (ПП) при прохождении этих опор. Очевидно, что такой вывод аналогичен рассмотренному выше.

Для предложенной модели был написан алгоритм расчета на базе дискретного варианта МПО и разработана программа расчета «Винт», подпрограммой которой служила модернизированная программа [9]. Расчеты, выполненные по указанной программе, подтвердили появление у вала с вращающимся винтом эффектов из [17] (прямая и обратная прецессии и т.п.). Рамки настоящего пособия не позволяют более подробно остановиться на обсуждении этого достаточно сложного явления, однако желающие могут ознакомиться с ним в [17].

ВЛИЯНИЕ ПРОДОЛЬНОЙ СЖИМАЮЩЕЙ КВАЗИСТАТИЧЕСКОЙ СИЛЫ

Как уже было сказано выше, влияние слагаемых четвертой группы может быть учтено непосредственно при выводе формул для ПО и ПП. В качестве первого опыта такого учета в работах [4, 5] был выполнен учет влияния на параметры вибрации плоской квазистатической конечно-элементной модели квазистатической продольной силы. Структуру дополнительных усилий, индуцируемых постоянной по величине и направлению продольной сжимающей силы T, действующей на элемент модели длиной ds, можно записать, рассмотрев рис. 7.

 

Рис. 7. Схема действия квазистатической сжимающей силы на элемент модели.

Fig. 7. Action diagram of a quasi-static compressive force on a model element.

 

При малых деформациях действие этой силы на элемент модели вызывает появление изгибающего момента, включающего две составляющие, т.е.

$M^T=M_1^{Т}+M_2^{Т}=T\left[\frac{N_n}{GF}-\vartheta \right]ds$. (8)

Его первая составляющая $M_1^{Т}$ обусловлена деформацией сдвига от внутренней перерезывающей силы N_n (GF — жесткость элемента на сдвиг), а составляющая $M_2^{Т}$ обусловлена деформацией изгиба элемента на угол ϑ. На рис. 4 пунктирными линиями изображено положение элемента при изгибе, а сплошными линиями — его положение с учетом сдвига. Очевидно, что $M_1^{Т}$ стремится уменьшить угол изгиба элемента и увеличить его поперечное смещение, а $M_2^{Т}$ стремится увеличить угол изгиба и уменьшить поперечное смещение элемента. При этом, принято следующее правило знаков: поперечное смещение и поперечная сила положительны при направлении вниз, а угол поворота и изгибающий момент положительны в направлении поворота по часовой стрелке.

Заметим, что статическое действие продольной силы должно быть учтено предварительно при расчете положения линии отсчета.

При переходе к дискретной конечно-элементной модели структуры этих дополнительных моментов будут записаны как $M_1^{Т}=T\frac{N_n}{e_n}$, где e_n — жесткость конечного элемента на сдвиг, и $M_2^{Т}=Тl\vartheta$, где l — длина конечного элемента. Действие изгибающего момента $M_1^{Т}$, пропорционального внутренней силе N_n, выполним непосредственно при выводе формул ПО, учитывающих проход обобщенного шарнира деформаций, допускающего сдвиг, растяжение-сжатие и изгиб:

$A_{\tau \tau }^{\text{'}}=A_{\tau \tau }+\frac{1}{e_{\tau }}, A_{\tau n}^{\text{'}}=A_{\tau n}+\frac{T}{e_n}{C}_{\tau b}, A_{nn}^{\text{'}}=A_{nn}+\frac{1}{e_n}(1+T{C}_{nb}), B_{bn}^{\text{'}}=B_{bn}+\frac{T}{e_n}{D}_{bb}, D_{bb}^{\text{'}}=D_{bb}+\frac{1}{k}$. (9)

Здесь нижние индексы i; j у ПО означают, что единичное усилие, ориентированное вдоль оси j вызывает смещение вдоль оси i, например, A_τn — линейное смещение вдоль оси τ от единичной силы, направленной вдоль оси n; C_τb; C_nb — линейное смещение вдоль оси τ (n) от единичного момента, направленного вдоль оси b; B_bn — угол поворота вокруг оси b от единичной силы, направленной вдоль оси n; D_bb — угол поворота вокруг оси b от единичного момента, направленного вдоль оси b; e_τ — жесткость конечного элемента на растяжение-сжатие, а k — жесткость элемента на изгиб. Верхний штрих отражает выполнение прохода через шарнир деформаций.

Действие отрицательного изгибающего момента $M_2^{Т}$, пропорционального абсолютному значению угла поворота элемента вокруг оси b, выполним, в соответствии с [11], коррекцией момента инерции масс, определяющего инерцию вращения элемента вокруг оси b. Ранее для квазистатической модели ПКУДС это усилие порождала опора в виде пружины отрицательной жесткости, равной u_b = –I_bω², где I_b — момент инерции масс элемента относительно бинормали b, а ω — частота вибрации; теперь жесткость такой опоры следует откорректировать и принять равной $u_b^{*}=-(I_b{\omega }^2+Тl)$. Комплект формул для прохода такой опоры приведен в [5].

Заметим, что учет продольной квазистатической силы дал возможность не только оценить ее влияние на параметры вибрации [18], но и найти предельные значения сжимающей силы, при которой квазиодномерная модель теряет устойчивость. Очевидно, что при ω = 0 мы будем получать для модели значение критической силы Эйлера.

Изменения алгоритма расчета позволили внести соответствующие изменения в [7].

Отметим, что в работах [5, 7], выполненных в середине 80-х годов, учет момента $M_2^{Т}$ выполнялся в рамках непосредственного вывода формул для ПО. Такой учет приводил к более громоздким выкладкам, чем учет коррекции инерционной характеристики, предложенный выше.

УЧЕТ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В НЕПРИЗМАТИЧЕСКОМ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ТРУБОПРОВОДЕ

В качестве очередного примера применения предложенного подхода [11], была решена задача из [19] о вибрации прямолинейного трубопровода, по которому с заданной скоростью движется идеальная жидкость. В качестве физической модели трубопровода был использован плоский вариант квазиодномерной конечно-элементной модели. При разработке математической модели задачи применен метод кинетостатики [16]; при таком подходе к действующим на механическую систему (трубопровод и жидкость) задаваемым гармонически изменяющимся во времени усилиям следует добавить соответствующие силы инерции, а модель трубопровода можно рассматривать как находящуюся в равновесии. Рассмотрение процесса вынужденных установившихся колебаний (вибрации), при котором все параметры изменяются во времени по моногармоническому закону, позволяет при получении математической модели воспользоваться квазистатической аналогией [1, 3, 4, 6, 10]. Задача о вычислении параметров движения системы сводится к задаче о вычислении параметров её деформированного состояния при статическом действии амплитудных значений вынуждающих усилий. Выполнение расчетов в комплексных числах позволит учесть наличие внутренних и внешних линейно-вязких сопротивлений комплексностью характеристик жесткости квазистатической модели [1, 3, 4, 6, 10]. Анализ выражений для составляющих сил инерции позволил сделать следующие выводы:

• изменение массы элемента модели трубопровода на величину массы расположенного внутри него элемента жидкости приведет к коррекции величины соответствующей инерционной характеристики (его массы) и, как следствие, к коррекции отрицательной жесткости соответствующей упругой опоры квазистатической модели трубопровода;
• учет сил инерции Кориолиса требует оснащения используемой квазиодномерной модели ранее отсутствовавшим свойством — поворот элемента вокруг бинормали должен вызывать появление поперечной силы, пропорциональной угловой скорости этого поворота.

Очевидно, что оснащение модели трубопровода опорой с такими свойствами приведет к модификации инерционных свойств ее элементов, что, в свою очередь, приведет к введению в каждый базовый элемент квазистатической модели упругой опоры, поперечная реакция которой будет зависеть от угла поворота элемента. При этом жесткость этой опоры будет величиной мнимой, т.к. возникающая поперечная сила зависит от скорости изменения угла поворота элемента. С формулами для вычисления ПО и ПП рассмотренных нагрузок можно ознакомиться в [20].

Действие слагаемого, содержащего радиус кривизны нейтральной оси прямолинейного трубопровода, был учтен непосредственно при выводе формул для парциальных откликов и парциальных параметров при «прохождении» подэлемента длиной l. С формулами для вычисления ПО и ПП рассмотренных нагрузок можно ознакомиться в [21]. Полученные выражения позволили выполнить очередную модернизацию расчетной программы [9].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В предложенном материале изложен подход, позволяющий в случае моделирования конструкций системами квазиодномерных конечно-элементных моделей, рассчитать параметры их статического деформирования и (или) связанных изгибно-продольно-крутильных установившихся колебаний (вибрации) более просто и быстро. Применение предложенного подхода проиллюстрировано на ряде задач прикладного характера.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Вклад авторов. Армен Л. Мелконян — написание текста рукописи, редактирование текста рукописи, создание изображений, экспертная оценка, утверждение финальной версии рукописи; Дмитрий А. Николаев — поиск публикаций по теме статьи, редактирование текста рукописи, создание изображений, утверждение финальной версии рукописи. Все авторы одобрили рукопись (версию для публикации) и согласились нести ответственность за все аспекты работы, гарантируя надлежащее рассмотрение и решение вопросов, связанных с точностью и добросовестностью любой ее части.

Источники финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования.

Конфликт интересов. Авторы гарантируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

Оригинальность. При создании настоящей работы авторы не использовали ранее опубликованные сведения (текст, иллюстрации, данные).

Генеративный искусственный интеллект. При создании настоящей статьи технологии генеративного искусственного интеллекта не использовали.

Рассмотрение и рецензирование. Настоящая работа подана в журнал в инициативном порядке и рассмотрена по обычной процедуре. В рецензировании участвовали один рецензент, член редакционной коллегии и научный редактор издания.

ADDITIONAL INFORMATION

Author contributions: Armen L. Melkonyan: writing — original draft, writing — review & editing, visualization, expert review, validation; Dmitry A. Nikolaev: investigation, writing — review & editing, visualization, validation. All the authors approved the version of the manuscript to be published and agree to be accountable for all aspects of the work, ensuring that questions related to the accuracy or integrity of any part of the work are appropriately investigated and resolved.

Funding sources: No funding.

Disclosure of interests: The authors have no relationships, activities, or interests for the last three years related to for-profit or not-for-profit third parties whose interests may be affected by the content of the article.

Statement of originality: No previously obtained or published material (text, images, or data) was used in this study or article.

Generative AI: No generative artificial intelligence technologies were used to prepare this article.

Provenance and peer review: This paper was submitted unsolicited and reviewed following the standard procedure. The peer review process involved one reviewer, a member of the editorial board, and the in-house scientific editor.

Об авторах

Армен Левонович Mелконян

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: mel1950@mail.ru
SPIN-код: 3789-4157

канд. техн. наук, доцент, профессор кафедры теоретической механики и сопротивления материалов

Россия, 190121, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, 3

Дмитрий Александрович Николаев

Email: d.nikolaev@d-nik.de

канд. техн. наук, пенсионер

Россия

Список литературы

Дополнительные файлы