Теоретическое описание транспортировки частиц порошка в рабочую зону прямого лазерного выращивания

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ

В предыдущей работе авторов [1] было проведено теоретическое исследование доставки частиц порошка газовым потоком в зону прямого лазерного выращивания. Задача решалась в два этапа. Сначала путем решения уравнения Навье – Стокса, осредненного по Рейнольдсу, рассчитывалось поле скоростей газа, вырывающегося в ограниченное пространство, заполненное тем же газом. Далее интегрировалось уравнение движения частицы с учетом силы Стокса, обусловленной найденным полем. Таким образом удалось описать траектории частиц порошка в рабочей области.

В рассматриваемой задаче несущий газ, вырывающийся из трубочки или сопла в область, занятую тем же газом, представляет собой известную проблему затопленной струи. Эта проблема для случая несжимаемой жидкости, вырывающейся из начала координат в ту же жидкость, была решена Л.Д. Ландау [2]. Обобщение этого решения, а также его применение в некоторых прикладных технических задачах описано в [3, 4].

Учитывая сказанное выше, в данной работе будет рассмотрен полуаналитический подход для нахождения траекторий частиц порошка в задаче прямого лазерного выращивания. Аналитическая часть будет представлена явным решением для затопленной струи невязкой несжимаемой жидкости. Уравнение движения частицы в заданной струе, в режиме стоксового обтекания [5], будет интегрироваться численно.

Новизной представленной работы является применение точного решения уравнения Эйлера для конкретных параметров частиц порошка и газа-носителя, используемых в аддитивных технологиях.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ ПОРОШКА В ЗАТОПЛЕННОЙ СТРУЕ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Поле скоростей идеальной жидкости

Для определенности будем говорить о трубчатых соплах. Направим ось  вдоль оси одной из трубочек, которая сама по себе может быть либо соплом, либо диффузором. Газ-носитель вырывается из трубочки в область, заполненную тем же газом. В этой постановке, для данной трубочки, задача является аксиально-симметричной. Поэтому поле скоростей газа u, записанное в цилиндрической системе координат, имеет только две компоненты u = (u_r (r, z), u_z (r, z)) и не зависит от полярного угла φ.

Для нахождения u нужно решить стационарное уравнение Навье–Стокса

$\left(u\nabla \right)u-\frac{\eta }{{\rho }_0}\Delta u=-\nabla \frac{p}{{\rho }_0}$, (1)

где ρ₀ — постоянная плотность, p = p (r, z) — давление и η — динамическая вязкость.

Пренебрежем вязкостью, положив в (1) η = 0. В этом случае, как показано в [3], физически правильное решение уравнения (1) будет иметь вид

$\left\{\begin{array}{l}{u}_r\left(r, z\right)=\frac{1}{z}\frac{D}{\xi \sqrt{1+{\xi }^2}}\left(\sqrt{1+{\xi }^2}-1\right),\\ u_z\left(r, z\right)=\frac{1}{z}\frac{D}{\sqrt{1+{\xi }^2}},\end{array}\right.$ (2)

где ξ = r / z — автомодельная переменная, константа D определяет геометрию сопла: D < 0 — сужающаяся трубка тока — сопло; D > 0 — расширяющаяся трубка тока — диффузор.

Константа D определяется через полный поток массы Q [3], проходящий через поперечное сечение трубочки радиусом r₀:

$Q=2\pi {\rho }_0{r}_0\left|D\right|$. (3)

Выражение для давления:

$p\left(r, z\right)=p_{fit}-\frac{{\rho }_0}{z^2}\frac{D^2}{{\xi }^2\sqrt{1+{\xi }^2}}\left(\sqrt{1+{\xi }^2}-1\right)$, (4)

где ρ₀ — плотность, p_fit — константа.

Решения (2)–(4) удовлетворяют уравнению Бернулли

${\rho }_0\frac{u_r^2\left(r, z\right)+u_z^2\left(r, z\right)}{2}+p\left(r, z\right)=p_{fit}$. (5)

При этом для безграничного пространства выполняется условие потенциального течения ∇ × u = 0. И тогда p_fit одна для всех линий тока.

Граничные условия для решения (2) – (4):

$\left\{\begin{array}{l}\underset{r\to 0}{\lim }\left\{u_r\left(r, z\right), u_z\left(r, z\right), p\left(r, z\right)\right\}=\left\{\mathrm{0,} \frac{D}{z}, p_{fit}-\frac{D^2{\rho }_0}{2z^2}\right\},\\ \underset{z\to \infty }{\lim }\left\{u_x\left(r, z\right), u_z\left(r, z\right), p\left(r, z\right)\right\}=\left\{\mathrm{0,} \mathrm{0,} p_{fit}\right\}.\end{array}\right.$ (6)

Уравнение движения для частицы

Теперь выпишем уравнение движения для частицы порошка:

$m_p\frac{d}{dt}v=F_D$, (7)

где v — вектор скорости частицы, m_p — масса частицы. Сила Стокса

$F_D=6\pi \eta r_p\Phi \left(u-v\right)$, (8)

где r_p — радиус частицы, которая предполагается сферической, Φ — коэффициент, учитывающий поправки, зависящие от чисел M, Re, Kn [5–7].

Отметим, что сила (8), линейная по скорости, корректно описывает движения частиц при малых числах Рейнольдса. Оценку числа Рейнольдса для нашей задачи проведем ниже.

Перепишем (7) для удобства в цилиндрической системе координат:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\frac{1}{{\tau }_p}\left(u_r-\frac{dr}{dt}\right),\\ \frac{d^{2}z}{d{t}^2}=\frac{1}{{\tau }_p}\left(u_z-\frac{dz}{dt}\right),\end{array}\right.$ (9)

где u_r, u_z представлены формулами (2) и было введено характерное время для частицы согласно

${\tau }_p=\frac{2}{9\Phi }\frac{r_p^2{\rho }_p}{\eta }$, (10)

где плотность частицы ${\rho }_p=m_p/\left(\frac{4\pi }{3}{r}_p^3\right)$.

Характерные величины. Свойство газа-носителя и частиц порошка

Введем следующие характерные для процесса прямого лазерного выращивания величины: L₀ — характерная длина, V₀ — характерная скорость, T₀ = L₀ / V₀ — характерное время.

Величине L₀ = 1 см будет соответствовать характерное расстояние от выхода из трубочки до рабочей зоны выращивания, а величине V₀ = 10³ см/с — скорость потока газа-носителя на выходе из трубочки в направлении оси z. Таким образом, T₀ = 10^–3 с.

Характерный радиус трубочки r₀ = 10^–1. Характерное давление на выходе из трубочки P₀ = 2 · 10⁵ Па = 2 · 10⁶ г / см · с².

В качестве газа-носителя выберем аргон. Тогда при T = 300 К и p = P₀ имеем: ρ_g = 1,6 · 10^–3 г/см³ — плотность, η_g = 2,23 · 10^–4 г/см · с — динамическая вязкость.

Отсюда характерные значения полного потока массы (3) $Q_0={\rho }_g{V}_0\pi r_0^2=5\cdot {10}^{-2} г/с$ и величины $D_0=\frac{Q_0}{2\pi {\rho }_g{r}_0}=\frac{V_0{r}_0}{2}=0.5\cdot {10}^2 с{м}^2/с$.

В качестве материала для частиц порошка выберем сталь, типичные значения параметров которой равны: r_p = 10^–2 см — средний радиус, ρ_p = 7,8 г/см³ — плотность.

Определив различные масштабы задачи, можно оценить числа Рейнольдса.

Отметим, что число Рейнольдса для газа внутри трубочки Re_in = ρ_gV₀r₀ / η_g = 0,7 · 10³, т.е. поток носит промежуточный характер — где-то турбулентный, где-то ламинарный.

Для области между соплом и подложкой имеем Re_out = ρ_gV₀L₀ / η_g = 7 · 10³, т.е. также имеем промежуточный характер для потока.

Рассчитаем число Рейнольдса для частицы в потоке газа-носителя: Re_p = ρ_gV₀r_p / η_g = 0,7 · 10². Таким образом, Re_p ≤ 10². Это означает, что происходит ламинарное обтекание частицы. Что оправдывает использование силы Стокса в (7), пропорциональной первой степени скорости.

Безразмерные уравнения

Перепишем нужные нам уравнения в безразмерном виде, выразив все величины в единицах (L₀, V₀, T₀, P₀, D₀).

Для поля скоростей идеальной жидкости и давления имеем

$\left\{\begin{array}{l}{\tilde{u}}_r\left(\tilde{r}, \tilde{z}\right)=\frac{1}{\tilde{z}}\frac{\delta \cdot \tilde{D}}{\xi \sqrt{1+{\xi }^2}}\left(\sqrt{1+{\xi }^2}-1\right),\\ {\tilde{u}}_z\left(\tilde{r}, \tilde{z}\right)=\frac{1}{\tilde{z}}\frac{\delta \cdot \tilde{D}}{\sqrt{1+{\xi }^2}},\end{array}\right.$ (2΄)

$\tilde{p}\left(\tilde{r}, \tilde{z}\right)={\tilde{p}}_{fit}-\frac{B}{{\tilde{z}}^2}\frac{{\delta }^2\cdot {\tilde{D}}^2}{{\xi }^2\sqrt{1+{\xi }^2}}\left(\sqrt{1+{\xi }^2}-1\right)$, (4΄)

где $\left({\tilde{u}}_r=\frac{u_r}{V_0}, {\tilde{u}}_z=\frac{u_z}{V_0}\right)$, $\tilde{p}=\frac{p}{P_0}, {\tilde{p}}_{fit}=\frac{p_{fit}}{P_{0 }}$, $\left(\tilde{r}=\frac{r}{L_0}, \tilde{z}=\frac{z}{L_0}\right)$ и введены следующие безразмерные величины: $\tilde{D}=\frac{D}{D_0}=\frac{2D}{V_0{r}_0}$, $B=\frac{{\rho }_g{V}_0^2}{P_{0 }}=0.8\cdot {10}^{-3}$, $\delta =\frac{r_0}{2L_0}$.

Уравнение движения для частицы порошка примет следующий вид:

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d^2\tilde{r}}{d{\tilde{t}}^2}=\gamma \left({\tilde{u}}_r-\frac{d\tilde{r}}{d\tilde{t}}\right),\\ \frac{d^2\tilde{z}}{d{\tilde{t}}^2}=\gamma \left({\tilde{u}}_z-\frac{d\tilde{z}}{d\tilde{t}}\right),\end{array}\right.$ (9΄)

где $\tilde{t}=t/T_0$ — безразмерное время и $\gamma =\frac{T_0}{{\tau }_p}=\frac{9}{2}\frac{\eta L_0}{V_0{r}_p^2{\rho }_p}\Phi =\left(1.25\cdot {10}^{-3}\right)\Phi$.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Поле скоростей газа-носителя

Вначале построим линии тока векторного поля $\tilde{u}\left(\tilde{x}, \tilde{z}\right)=\left({\tilde{u}}_r\left(\tilde{x}, \tilde{z}\right), {\tilde{u}}_z\left(\tilde{x}, \tilde{z}\right)\right)$, где $\tilde{x}\equiv \tilde{r}$.

Будем считать, что трубочка представляет собой диффузор, т.е. $\tilde{D}>0$. В этом случае поток движется вдоль оси z (${\tilde{u}}_z>0$) и линии тока расходятся от нее (${\tilde{u}}_r>0$).

Для исключения расходимости начало отсчета по оси струи сместим вглубь трубочки: $\tilde{z}\to \tilde{z}+a$, где a > 0.

Пусть газ-носитель вырывается из трубочки радиусом ${\tilde{r}}_0=0.15$. Расстояние от трубочки до рабочей поверхности равно $\left({\tilde{z}}_2-{\tilde{z}}_1\right)=3$, где ${\tilde{z}}_1=0$ — координата выхода газа из трубочки, а значение ${\tilde{z}}_2=3$ соответствует рабочей поверхности.

Выберем следующие значения коэффициентов: $\tilde{D}=10$, δ = 0,05.

На рис. 1 построен график поля скоростей газа-носителя.

 

Рис. 1. Векторное поле скоростей газа-носителя $\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{u}}\left(\tilde{x}, \tilde{z}\right)$.

Fig. 1. Vector field of carrier gas velocities $\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{u}}\mathbf{(}\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{x}}\mathbf{,}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{z}}\mathbf{)}$.

 

Значение скорости газа на оси на выходе из трубочки равно $\left({\tilde{u}}_r\left(\mathrm{0,} {\tilde{z}}_1\right)=\mathrm{0,} {\tilde{u}}_z\left(\mathrm{0,} {\tilde{z}}_1\right)=0,5\right)$, а на рабочей поверхности — $\left({\tilde{u}}_r\left(\mathrm{0,} {\tilde{z}}_2\right)=\mathrm{0,} {\tilde{u}}_z\left(\mathrm{0,} {\tilde{z}}_2\right)=0,125\right)$, т. е. компонента скорости ${\tilde{u}}_z$ уменьшается.

Траектории частиц

Теперь рассмотрим траектории частиц порошка, вылетающих из трубочки.

На рис. 2, а показаны траектории частиц с разными начальными значениями поперечной координаты ${\tilde{x}}_1$: ±0,15 — зеленые линии, ±0,1 — синие линии, ±0,05 — красные линии. Начальные скорости частиц совпадают со скоростью самого потока на выходе из трубочки — $v\left(t=0\right)=u\left({\tilde{x}}_1, {\tilde{z}}_1=0\right)\equiv u\left({\tilde{x}}_1\right)$, $u\left({\tilde{x}}_1=\pm 0.05\right)=\left(\mathrm{0.012,} 0.499\right)$, $u\left({\tilde{x}}_1=\pm 0.1\right)=\left(\mathrm{0.024,} 0.497\right)$, $u\left({\tilde{x}}_1=\pm 0.15\right)=\left(\mathrm{0.036,} 0.494\right)$.

 

Рис. 2. Траектории частиц порошка, вылетающих из трубочки: a — разные начальные значения поперечной компоненты ${\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{x}}}_{\mathbf{1}}$ и соответствующие скорости; b — разные начальные значения поперечной компоненты ${\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{x}}}_{\mathbf{1}}$ и одинаковые начальные скорости.

Fig. 2. Powder trajectories for particles ejected from a tube. a, different initial values of the transverse component ${\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{x}}}_{\mathbf{1}}$ and corresponding velocities; b, different initial values of the transverse component ${\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{x}}}_{\mathbf{1}}$ and the same initial velocities.

 

Траектории частиц естественным образом повторяют расширяющуюся трубку тока.

На рис. 2, b построены траектории частиц с теми же начальными координатами, что и на рис. 2, a, но начальные скорости у всех частиц одинаковы и равны $v\left(t=0\right)=u\left({\tilde{x}}_1=\pm 0.05\right)=\left(\mathrm{0.012,} 0.499\right)$.

Такое одинаковое задание начальных скоростей частиц, ведущее к меньшему разбросу поперечной компоненты скорости, обеспечивает лучшую фокусировку пучка.

Для всех расчетов величина Φ [см. текст после формулы (9΄)] бралась равной единице [5].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе с помощью аналитического решения уравнения Эйлера исследована зависимость траекторий частиц порошка от распределения скорости газа-носителя на выходе из трубочки.

Для частиц порошка были выбраны параметры, типичные для стали, а газ-носитель представлен аргоном. Результаты расчетов показали естественное, с поправкой на силу Стокса, совпадение траекторий частиц с линиями тока газа-носителя. Показана зависимость расходимости пучка частиц от распределения поперечной компоненты скорости газа на выходе из трубочки.

Для понимания возможности дальнейшего обобщения используемого подхода на систему трубочек необходимо провести сравнения с численными расчетами, а также с некоторыми экспериментальными данными.

Возможно, будет необходимо задействовать аналитическое решение Ландау для уравнения Навье – Стокса [2, 3], а также выйти за рамки приближения Стокса в уравнении движения для частиц. На это косвенно указывает как оцененное выше значение числа Рейнольдса Re_out = 7 · 10³ [8], так и предварительные расчеты, дающие очень слабую зависимость траектории частицы от ее размера.

В конце отметим, что нами уже применялся аналитический подход, связанный с затопленной струей Ландау [9, 10], позволивший качественно описать плазменный факел при лазерной сварке с глубоким проплавлением.

Однако, возвращаясь к оценкам числа Рейнольдса и учитывая ограниченность пространства, добавим, что количественное описание рассматриваемых процессов, скорее всего, возможно только при использовании стохастических уравнений гидродинамики [1, 11, 12].

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Вклад авторов. Все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, разработку физической и математической модели и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией.

Источники финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования.

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

Генеративный искусственный интеллект. При создании настоящей статьи технологии генеративного искусственного интеллекта не использовались.

Рассмотрение и рецензирование. Настоящая работа подана в журнал в инициативном порядке и рассмотрена по обычной процедуре. В рецензировании участвовали один рецензент, член редакционной коллегии и научный редактор издания.

ADDITIONAL INFORMATION

Author contributions: All authors made substantial contributions to the conceptualization, calculation of a physical and mathematical model, and manuscript preparation and reviewed and approved the final version prior to publication.

Funding sources: No funding.

Disclosure of interests: The authors have no relationships, activities, or interests for the last three years related to for-profit or not-for-profit third parties whose interests may be affected by the content of the article.

Generative AI: No generative artificial intelligence technologies were used to prepare this article.

Provenance and peer review: This paper was submitted unsolicited and reviewed following the standard procedure. The peer review process involved one reviewer, a member of the editorial board, and the in-house scientific editor.

Об авторах

Дмитрий Вячеславович Мукин

Институт лазерных и сварочных технологий Санкт-Петербургского государственного морского технического университета

Автор, ответственный за переписку.
Email: mukin@ilwt.smtu.ru
SPIN-код: 7660-7455

специалист

Россия, 198262, Санкт-Петербург, пр. Маршала Жукова, 38а

Николай Владимирович Ларионов

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Email: larionov.nickolay@gmail.com
SPIN-код: 7181-9757

канд. физ.-мат. наук, доцент, заведующий кафедрой физики

Россия, 190121, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, 3

Василий Максимович Молчановский

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Email: molchanovskiy@gmail.com
SPIN-код: 2618-9594

ассистент кафедры физики

Россия, 190121, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, 3

Илья Николаевич Юдин

Институт лазерных и сварочных технологий Санкт-Петербургского государственного морского технического университета

Email: youdin@ilwt.smtu.ru
SPIN-код: 3877-3528

специалист

Россия, 198262, Санкт-Петербург, пр. Маршала Жукова, 38а

Список литературы

Дополнительные файлы