SIMULATION OF PARTICLE MOTION ALONG THE BLADES OF A HORIZONTAL ROTOR

Full Text

Современное развитие человеческого общества требует для своего существования использование разнообразных материалов с разными свойствами, а также машин и аппаратов разнообразной конструкции и с разными технологическими процессами. Для эффективной работы используемых машин при их конструировании требуется отыскание рациональных или оптимальных конструктивных, кинематических и технологических параметров. В результате экспериментального обоснования зоны работоспособности возможно отыскание потребных значений параметров статистическими методами [1]. Однако, экспериментальное обоснование весьма трудозатратно и требует высоких финансовых вложений. В последние годы в связи с развитием компьютерной техники и разработкой программ для моделирования методом конечных элементов применение данного способа моделирования получает широкое распространение [2, 3]. С одной стороны имеется преимущество данного метода, с другой стороны получение достоверного результата требует специализации компьютерной программы под рассматриваемые условия процесса и задачи исследований, опыта оператора по проведению именно подобных исследований, по настройке исходных данных и разметке расчетной сетки. Учитывая, что отыскивается условие равновесия показателей по узлам сетки, полученный результат стремится к частному случаю. Малейшие недочеты или сбои приводят к снижению вероятности правильного результата расчета. Кроме того, отсутствует динамика изменения показателей при изменении исходных условий. В связи с этим, традиционные аналитические методы расчета обладают преимуществом именно в направлении получения результатов для интервалов изменения исходных показателей. К сожалению, в силу разнообразия конструкций устройств и машин, и стоящих задач, требуется разработка большого количества подобных моделей. Существующие модели, связанные с движениями частиц и применимые в сельском хозяйстве, направлены в большинстве случаев на рассмотрение движения частиц при взаимодействии с лопастями определенной конструкции [4, 5], движения по поверхностям с разной степенью криволинейности [6-9]. При этом рабочий орган может быть, как вертикальным [10, 11], так и горизонтальным [12, 13]. В ряде случаев рассматриваются как конкретные среды, взаимодействующие с частицами [14-16], так и условия разрушения частиц [17-20]. Анализируя моделируемые рабочие органы, следует отметить, что моделирование движения частиц по продольным лопастям горизонтального лопастного ротора не было обнаружено. Цель исследований - моделирование движения частиц, перемещающихся по поверхности внутренних лопастей горизонтального вращающегося ротора. Задачи исследований - определить основные силовые факторы и конструктивные параметры, влияющие на характер движения частицы по лопастям горизонтального ротора, а на их основе - установить выражения, описывающие движение частицы по лопастям; на основе полученных выражений провести компьютерное моделирование движения частицы и осуществить графический анализ результатов моделирования. Материалы и методы исследований. На основании обзора литературы и анализа условий движения частицы по лопасти ротора уточнены выражения, описывающие движение частицы по лопасти. В результате математического моделирования в математическом пакете MatchCAD движения частицы осуществлено построение графиков, описывающих численные значения показателей движения. Результаты исследований. Рассмотрим горизонтальный ротор с лопастями, расположенными вдоль образующей ротора. Для определения предельной высоты подъема частицы во вращающемся роторе рассмотрим: a) вращающийся с постоянной угловой скоростью ω полый цилиндр радиуса R, ось вращения которого параллельна линии горизонта, с лопастями шириной l, расположенными вдоль образующей цилиндра; б) частицу не сферической формы с условным диаметром d, находящуюся в начальном положении в нижней точке внутри цилиндра и удаленную от днища цилиндра на некоторое расстояние z. Расчетная схема механизма ротора с частицей приведена на рисунке 1. Рис. 1. Расчетная схема механизма горизонтального ротора с лопастями, параллельными образующей: 1 - ротор; 2 - лопасти; 3 - частица в начальном положении; 4 - частица в предельном положении; 5 - частица на краю лопасти; 6 - частица в произвольном положении на траектории свободного падения Проведем координатные оси Oxyz и рассмотрим условия движения частицы в полости ротора. При вращении ротора частица будет перемещаться вместе с лопастью ротора до некоторого предельного положения 4, при дальнейшем вращении ротора частица начинает перемещаться по лопасти, достигнув края лопасти 5 частица падает в полости ротора с начальной скоростью V0 под действием силы тяжести G и силы сопротивления воздуха F. Произвольное положение частицы на траектории свободного падения обозначено позицией 6 (рис. 1). Первым исследуем предельное положение равновесия частицы на лопасти ротора, которое определяется предельным углом φ (рис. 1). Для этого рассмотрим частицу в произвольном положении на лопасти ротора в плоскости Oxy (рис. 2). Дополнительно проведем оси скоростной системы координат Aτn. На частицу в произвольном положении равновесия действуют силы: сила тяжести G, нормальная реакция лопасти смесителя N1, нормальная реакция боковой поверхности барабана N2, сила трения Ffr и центробежная сила инерции Φ (рис. 2). Уравнения равновесия частицы в проекциях на координатные оси Aτ и An имеют вид: , (1) , (2) где G = m× g, m - масса частицы, g - ускорение свободного падения; Ffr = N1· f, f - коэффициент трения межу лопастью и частицей; . Рис. 2. Силы, действующие на частицу в произвольном положении равновесия: 1 - барабан; 2 - лопасть Нормальная реакция лопасти барабана N1 определяется из (1): . (3) Таким образом, уравнение (2) примет следующий вид . (4) Движение частицы по лопасти начнется в том момент времени, когда нормальная реакция стенки ротора обратится в ноль (N2=0). Таким образом, уравнение (4) примет вид: . (5) Из уравнения (5) найдем предельный угол подъема частицы, при превышении которого начинается движение частицы по лопасти ротора . (6) Зависимость угла начала движения частицы по лопасти ротора в зависимости от числа оборотов для различных значений коэффициента трения приведена на рисунке 3. Зависимость угла начала движения частицы по лопасти ротора в зависимости от начального положения частицы на лопасти для коэффициента трения f = 0,6 приведена на рисунке 4. Рис. 3. Зависимость угла начала движения частицы по лопасти от частоты вращения ротора и коэффициента трения частицы по лопасти: 1 - коэффициент трения 0,1; 2 - коэффициент трения 0,2; 3 - коэффициент трения 0,3; 4 - коэффициент трения 0,4; 5 - коэффициент трения 0,5; 6 - коэффициент трения 0,6 Рис. 4. Зависимость угла начала движения частицы по лопасти ротора в зависимости от начального положения частицы на лопасти: 1 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,275 м; 2 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,25 м; 3 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,215 м; 4 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,185 м; 5 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,155 м; 6 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,125 Далее исследуем движение частицы по лопасти ротора, начальное положение частицы на лопасти определяется выражением (6). Рассмотрим частицу в произвольном положении на лопасти ротора в плоскости Oxy (рис. 5). Дополнительно проведем оси полярной системы координат Aereφ. На частицу в произвольном положении действуют силы: сила тяжести G, нормальная реакция лопасти ротора N, и сила трения Ffr (рис. 5). Рис. 5. Силы, действующие на частицу в произвольном положении при движении по лопасти Дифференциальные уравнения движения частицы по лопасти ротора в проекциях на оси декартовой системы координат Oxy имеют вид (7) и на оси полярной системы координат Aereφ - вид (8): (7) (8) Так как ротор вращается с постоянной угловой скоростью ω = π·n/30, где n - число оборотов в минуту (мин-1), то текущий угол подъема частицы вместе с лопастью определяется выражением , (9) где t - время движения частицы по лопасти ротора, с. Решение уравнений (7) и (8) определяет закон изменения относительной скорости и закон относительного движения частицы по лопасти ротора. Закон переносного движения определяется уравнением (9), закон изменения переносной скорости частицы определяется уравнением . (10) Результаты численного моделирования движения частиц по лопасти шириной l = 0,15 м при диаметре ротора D = 0,55 м, числе оборотов ротора n =27 мин-1 и коэффициенте трения f = 0,6 для разных начальных положений частицы на лопасти (r = 0,275 м, r = 0,25 м, r = 0,215 м, r = 0,185 м, r = 0,155 м, r = 0,125 м) на построенных математических моделях (7), (8), (9) и (10) определяют закон движения частиц по лопасти (рис. 6, а), угол подъема частиц до начала их схода с лопасти (рис. 6, б), скорость движения частиц по лопасти (рис. 7, а) и скорость движения частиц вместе с ротором (рис. 7, б), в том числе на ее краю. а б Рис. 6. Зависимости движения частицы по лопасти ротора: a - для относительного движения, r = r(t); б - для переносного движения, φ = φ(t); 1 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,275 м; 2 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,25 м; 3 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,215 м; 4 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,185 м; 5 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,155 м; 6 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,125 м а б Рис. 7. Зависимости изменения скорости частицы при движении по лопасти ротора: a - для изменения относительной скорости, Vr = Vr(r); б - для изменения переносной скорости, Ve = Ve(r); 1 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,275 м; 2 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,25 м; 3 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,215 м; 4 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,185 м; 5 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,155 м; 6 - начальное положение частицы на лопасти, r = 0,125 м Результаты численного моделирования позволяют определить начальные условия свободного падения частицы (табл. 1), а именно время схода частицы с лопасти t0, предельный угол подъема частицы φ, координаты частицы по осям r, составляющие относительной скорости частицы Vr и переносную скорость Ve для определения траекторий полета частиц (рис. 8). В момент времени t0 (координата частицы на лопасти r = 0,125 м) частица начинает свободное падение в полости ротора с начальной скоростью под действием силы тяжести G и силы сопротивления воздуха F. Силы, действующие на частицу в случае свободного падения, изображены на рисунке 8. Таблица 1 Начальные условия полета частиц № Показатели t, с φ, рад r, м Vr, м/с Ve, м/с 1 0,2829 2,9986 0,125 -1,7294 0,35313 2 0,267 2,9536 0,125 -1,5212 0,35313 3 0,2403 2,8781 0,125 -1,2031 0,35313 4 0,2082 2,7874 0,125 -0,90609 0,35313 5 0,26779 2,7121 0,125 -0,55643 0,35313 6 0 2,1987 0,125 0 0,35313 Рис. 8. Свободное падение частицы в полости ротора: 1 - полый цилиндр ротора; 2 - лопасть; 2 - начальное положении частицы; 4 - частица в произвольном положении; 5 - траектория движения частицы в полости ротора Вектор силы тяжести G направлен вертикально вниз и численно равен , (11) , где ρ1 - плотность частицы, кг/м3. В зависимости от варианта использования ротора в конкретном техническом устройстве может как возникать необходимость учета сопротивления воздуха, так и отсутствовать. При этом в сушилках с продольным движением воздуха внутри вращающегося ротора вектор силы воздействия воздуха будет направлен вдоль продольной оси ротора, а в случае барабанного смесителя - навстречу движению частицы при ее падении с лопасти. Вектор силы сопротивления воздуха F в конкретном примере направлен в сторону, противоположную вектору скорости частицы и численно равен [21] , (12) где ρ2 - плотность воздуха, A = π·d2/4 - площадь поперечного сечения частицы, м2; k - коэффициент аэродинамического сопротивления; k’ - коэффициент формы частицы, для частицы сферической формы k’ = 1; V - модуль абсолютной разности скоростей частицы и потока воздуха, м/с. Коэффициент аэродинамического сопротивления определяется по формуле [22, 23] , (13) где μ - динамическая вязкость воздуха, Па·с. Дифференциальные уравнения свободного падения частицы в полости ротора в проекциях на оси декартовой системы координат Oxy примут вид (14) Решение системы уравнений (14) определяет траектории движения частиц в полости ротора. Траектория движения частицы в полости ротора диаметром 0,55 метра для частоты вращения n = 27 мин-1 с начальными условиями, приведенными в таблице 1, представлены на рисунке 9. Рис. 9. Траектория движения частицы в полости ротора: 0 - ротор; 1, 2, 3, 4, 5, 6 - траектории частицы Заключение. Проведенный силовой анализ позволил выявить основные выражения, необходимые для численного моделирования движения частицы по лопасти горизонтального ротора. Осуществленное математическое моделирование движения частицы по лопасти позволило установить графические модели изменения числовых значений ряда показателей, описывающих: зависимости угла начала движения частицы по лопасти от частоты вращения ротора и коэффициента трения частицы по лопасти; зависимости угла начала движения частицы по лопасти ротора от начального положения частицы на лопасти; закон движения частицы по лопасти ротора; закон изменения скорости частицы при движении по лопасти ротора; начальные условия полета частиц; траектории движения частицы, сошедшей с лопасти.

About the authors

Vladimir Yu. Zaitsev

Penza State Technical University

Email: vluzai@gmail.com
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor Penza, Russia

Konstantin P. Fudin

Penza State Technical University

Email: kpfudin@yandex.ru
postgraduate student Penza, Russia

Vladimir V. Konovalov

Penza State Technical University

Email: konovalov-penza@rambler.ru
Doctor of Technical Sciences, Professor Penza, Russia

Marina V. Dontsova

Penza State Technical University

Email: dontmv@mail.ru
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor Penza, Russia

Svetlana S. Petrova

Samara State Agrarian University

Email: svetychsa1368@mail.ru
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor Ust-Kinelsky, Samara Region, Russia

References

Supplementary files